题文
已知复数
均为实数，
为虚数单位，且对于任意复数
。
（1）试求
的值，并分别写出
和
用
、
表示的关系式；
（2）将(
、
)作为点
的坐标，(
、
)作为点
的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点
变到这一平面上的点
，
当点
在直线
上移动时，试求点
经该变换后得到的点
的轨迹方程；
（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由。 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
（2）点
的轨迹方程为
（3）这样的直线存在，其方程为
或
解析
（1）由题设，
，
于是由
，
因此由
，
得关系式
（2）设点
在直线
上，则其经变换后的点
满足
，
消去
，得
，
故点
的轨迹方程为
（3）假设存在这样的直线，∵平行坐标轴的直线显然不满足条件，
∴所求直线可设为
，
法一：∵该直线上的任一点
，其经变换后得到的点
仍在该直线上，
∴
，
即
，
当
时，方程组
无解，
故这样的直线不存在。
当
时，由
得
，
解得
或
，
故这样的直线存在，其方程为
或
，
法二：取直线上一点
，其经变换后的点
仍在该直线上，
∴
，
得
，
故所求直线为
，取直线上一点
，其经变换后得到的点
仍在该直线上。
∴
，
即
，得
或
，
故这样的直线存在，其方程为
或
，
考点
据考高分专家说，试题“已知复数均为实数，为虚数单位，且对于任意.....”主要考查你对 [向量数量积的含义及几何意义 ]考点的理解。
