设函数的图象上两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，若，且点P的横坐标为．(1)，求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；(2)，求

题文

（本小题满分12分）设函数

的图象上两点P₁(x₁，y₁)、P₂(x₂，y₂)，若

，且点P的横坐标为

．
(1)，求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；
(2)，求


(3)，记T_n为数列

的前n项和，若

对一切n∈N*都成立，试求a的取值范围。 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1)见解析；(2)

；(3)

.

解析

本试题主要考查了函数，与向量，以及数列的知识的综合运用。以函数为模型，确定点的坐标关系式，进一步结合向量得到结论，并利用倒序相加法求解和，同时利用裂项求和得到不等式的证明。
（1）由于点在函数图像上，同时满足

，那么利用坐标化简得到结论。
（2）根据f (x₁)＋f (x₂)＝y₁＋y₂＝1，f (1)＝2－

，结合倒序相加法求解得到结论。
（3）根据已知的和式得到

，裂项求和的数学思想得到证明。
(1)证：∵

，∴P是P₁P₂的的中点Þx₁＋x₂＝1------(2分)
∴





∴

．-----------------------------(4分)
(2)解：由(1)知x₁＋x₂＝1，f (x₁)＋f (x₂)＝y₁＋y₂＝1，f (1)＝2－

，

，


相加得




(n－1个1)

∴

．------------(8分)
(3)解：




   --------------------（10分）

Û

∵

≥8，当且仅当n＝4时，取“＝”   ∴

，因此，

-------------------（12分）

考点

据考高分专家说，试题“（本小题满分12分）设函数的图象上两点P.....”主要考查你对 [向量数量积的含义及几何意义 ]考点的理解。