题文
（本小题满分14分）如图5, 已知抛物线
，直线
与抛物线
交于
两点，
，
，
与
交于点
.
（1）求点
的轨迹方程；
（2）求四边形
的面积的最小值. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
（2）
解析
（本小题主要考查抛物线、求曲线的轨迹、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）解法一:
（1）解：设
，
∵
，
∴
是线段
的中点. ………… 2分
∴
，① ……… 3分
. ② …… 4分
∵
， ∴
.
∴
. ……… 5分
依题意知
，
∴
. ③ ………… 6分
把②、③代入①得：
，即
.……… 7分
∴点
的轨迹方程为
. ………… 8分
(2)解：依题意得四边形
是矩形，
∴四边形
的面积为
………… 9分
. …… 11分
∵
，当且仅当
时，等号成立， …………… 12分
∴
. ………… 13分
∴四边形
的面积的最小值为
. ……… 14分
解法二:
(1)解:依题意,知直线
的斜率存在,设直线
的斜率为
,
由于
,则直线
的斜率为
. …………… 1分
故直线
的方程为
,直线
的方程为
.
由
消去
,得
.
解得
或
. …………… 2分
∴点
的坐标为
. ……… 3分
同理得点
的坐标为
. …… 4分
∵
，
∴
是线段
的中点. ……… 5分
设点
的坐标为
,
则
…………… 6分
消去
,得
. …………… 7分
∴点
的轨迹方程为
. ……… 8分
(2)解：依题意得四边形
是矩形，
∴四边形
的面积为
…………… 9分
…………… 10分
…………… 11分
. …………… 12分
当且仅当
,即
时,等号成立. …………… 13分
∴四边形
的面积的最小值为
. …………… 14分
考点
据考高分专家说，试题“（本小题满分14分）如图5, 已知抛物线.....”主要考查你对 [向量数量积的含义及几何意义 ]考点的理解。
