在△ABC中，分别是,的中点，且，若恒成立，则的最小值为A．B．C．D．

题文

在△ABC中，

分别是

,

的中点，且

，若

恒成立，则

的最小值为（ ）A．

B．

C．

D．

题型：未知 难度：其他题型

答案

A

解析

如图所示：



∵3AB=2AC，∴AC=

AB，
又E、F分别为AC、AB的中点，
∴AE=

AC，AF=

AB，
∴在△ABE中，由余弦定理得：BE²=AB²+AE²-2AB•AE•cosA
=AB²+（

AB）²-2AB•

AB•cosA=

AB²-

AB²cosA，
在△ACF中，由余弦定理得：CF²=AF²+AC²-2AF•AC•cosA
=（

AB）²+（

AB）²-2•

AB•

AB•cosA=

AB²-

AB²cosA，
∴

=

,
∴



=

.
∵当cosA取最小值时，

最大，
∴当A→π时，cosA→-1，此时 

达到最大值，最大值为 

,
故 

恒成立，t的最小值为

.选A.
点评：中档题，不等式恒成立问题，往往通过“分离参数”，转化成求函数的最值问题，解答本题的关键是，熟练掌握余弦定理，利用余弦定理建立三角形的边角关系。

考点

据考高分专家说，试题“在△ABC中，分别是,的中点，且，若恒成.....”主要考查你对 [向量数量积的含义及几何意义 ]考点的理解。