题文
已知抛物线
：
的焦点为
，若过点
且斜率为
的直线与抛物线相交于
两点,且
．
（1）求抛物线
的方程；
（2）设直线
为抛物线
的切线，且
∥
,
为
上一点，求
的最小值． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
；（2）-14.
解析
本题主要考查抛物线的标准方程、抛物线的几何性质、向量的数量积等基础知识，考查学生的数学结合思想、分析问题解决问题的能力、转化能力.第一问，由抛物线的标准方程得焦点F的坐标，再利用点斜式写出直线方程，由于它与抛物线相交，所以直线方程与抛物线方程联立，消参，利用韦达定理、得到M、N的两个横坐标的和，解出P的值，从而得到抛物线的标准方程；第二问，先设出直线
的方程，由于
是抛物线的切线，所以2个方程联立，得到x的方程后，方程的判别式等于0，解出b的值，从而得到直线方程，设出p点坐标，结合第一问得出
和
坐标，利用向量的数量积化简表达式，使之转化为关于m的式子，再利用配方法求最值.
试题解析：（1）由题可知
，则该直线方程为：
， 1分
代入
得：
，设
，则有
3分
∵
，∴
，即
，解得
∴抛物线的方程为：
． 5分
(2)设
方程为
，代入
，得
，
因为
为抛物线
的切线，∴
，
解得
，∴
7分
由（1）可知：
，
设
，则
所以
，
，
，
，
，∴
10分
当且仅当
时，即点
的坐标为
时，
的最小值为
． 12分
考点
据考高分专家说，试题“已知抛物线：的焦点为，若过点且斜率为的直.....”主要考查你对 [向量数量积的含义及几何意义 ]考点的理解。
