题文
已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆C的一个焦点在抛物线
的准线上，且椭圆C过点
.
（1）求椭圆C的方程；
（2）点A为椭圆C的右顶点，过点
作直线
与椭圆C相交于E，F两点，直线AE,AF与直线
分别交于不同的两点M,N，求
的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
；（2）
.
解析
（1）由题设知椭圆中心在原点，一个焦点坐标为
，且过点
，于是可设出其标准方程
,并用待定系数法求出
的值进而确定椭圆的方程.
（2）当直线
的斜率存在且不为零时，由题意可设直线
的方程为
，
与椭圆方程联立组成方程组
消去
并结合韦达定理得到
，据此可将
化成关于
的函数而求解.
注意对直线
的斜率不存在及斜率为零的情况，要单独说明.
解：（1）抛物线
的准线方程为：
1分
设椭圆的方程为
，则
依题意得
，解得
，
.
所以椭圆
的方程为
. 3分
（2）显然点
.
（1）当直线
的斜率不存在时，不妨设点
在
轴上方，
易得
，
，
所以
. 5分
（2）当直线
的斜率存在时，由题意可设直线
的方程为
，
,显然
时，不符合题意.
由
得
. 6分
则
. 7分
直线
，
的方程分别为：
，
令
，则
.
所以
，
. 9分
所以
. 11分
因为
，所以
，所以
，即
.
综上所述，
的取值范围是
. 13分
考点
据考高分专家说，试题“已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆C的.....”主要考查你对 [向量数量积的含义及几何意义 ]考点的理解。
