题文
如图，已知椭圆
的离心率为
，以椭圆
的
左顶点
为圆心作圆
，设圆
与椭圆
交于点
与点
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）求
的最小值，并求此时圆
的方程；
（3）设点
是椭圆
上异于
、
的任意一点，且直线
、
分别与
轴交于点
、
，
为坐标原点，求证：
为定值.
题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
；（2）
的最小值为
，此时圆
的方程为
；
（3）详见解析.
解析
（1）利用圆的方程的求出
的值，然后根据离心率求出
的值，最后根据
、
、
的关系求出
，最后确定椭圆的方程；（2）先根据点
、
的对称性，设点
，将
表示为
的二次函数，结合
的取值范围，利用二次函数求出
的最小值，从而确定点
的坐标，从而确定圆的方程；（3）设点
，求出
、
的方程，从而求出点
、
的坐标，最后利用点
在椭圆上来证明
为定值.
（1）依题意，得
，
，
，
，
故椭圆
的方程为
；
（2）点
与点
关于
轴对称，设
、
， 不妨设
，
由于点
在椭圆
上，所以
， （*）
由已知
，则
，
，
，
，
由于
，故当
时，
取得最小值为
，
由（*）式，
，故
，又点
在圆
上，代入圆的方程得到
，
故圆
的方程为：
；
（3）设
，则直线
的方程为：
，
令
，得
， 同理：
，
故
（**）
又点
与点
在椭圆上，故
，
，
代入（**）式，得：
所以
为定值.
考点
据考高分专家说，试题“如图，已知椭圆的离心率为，以椭圆的左顶点.....”主要考查你对 [向量数量积的含义及几何意义 ]考点的理解。
