题文
如图：
两点分别在射线
上移动，
且
,
为坐标原点，动点
满足
（1）求点
的轨迹
的方程;
（2）设
，过
作（1）中曲线
的两条切线，切点分别
为
，①求证:直线
过定点;
②若
,求
的值。 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
；（2）②
.
解析
（1） 设动点
的坐标为
，由
另由
于是由此可消去上参数方程中的参数而得点
的轨迹方程.
（2）①设
，先用导数求出双曲线在
处的切线，利用两切线均过点
得到直线
的方程并进一步证明其过定点.
②由①可知，设直线
的方程为
，易知
且
，
所以可利用方程组
消去
得
，再结合韦达定理解决.
解：（1）由已知得，
，即
设
坐标为
，由
得：
∴
，消去
可得，
∴轨迹
的方程为：
4分
（2）①由（1）知，
即
设
，则
，
∴
，即
，
∵
在直线
上，∴
⑴同理可得，
⑵
由⑴⑵可知，
∴直线
过定点
9分
②由①可知，设直线
的方程为
，易知
且
，将直线
的方程代入曲线C的方程得：
∴
又
即
∴
13分
考点
据考高分专家说，试题“如图：两点分别在射线上移动，且,为坐标原.....”主要考查你对 [向量数量积的含义及几何意义 ]考点的理解。
