题文
设向量a=(4cosα，sinα)，b=(sinβ，4cosβ)，c=(cosβ，-4sinβ)（1）若a与b-2c垂直，求tan（α+β）的值；
（2）求|b+c|的最大值；
（3）若tanαtanβ=16，求证：a∥b． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）∵b-2c=（sinβ-2cosβ，4cosβ+8sinβ），a与b-2c垂直，∴4cosα（sinβ-2cosβ）+sinα（4cosβ+8sinβ）=0，
即sinαcosβ+cosαsinβ=2（cosαcosβ-sinαsinβ），
∴sin（α+β）=2cos（α+β），∴tan（α+β）=2．
（2）∵b+c=（sinβ+cosβ，4cosβ-4sinβ），
∴|b+c|=(sinβ+cosβ)2+(4cosβ-4sinβ)2
=1+2sinβcosβ+16-32cosβsinβ=17-15sin2β，
∴当sin2β=-1时，|b+c|取最大值，且最大值为32=42．
（3）∵tanαtanβ=16，∴sinαcosα•sinβcosβ=16，即sinαsinβ=16cosαcosβ，
∴（4cosα）•（4cosβ）=sinαsinβ，
即a=（4cosα，sinα）与b=（sinβ，4cosβ）共线，
∴a∥b．
解析
b考点
据考高分专家说，试题“设向量a=(4cosα，sinα)，b=.....”主要考查你对 [向量模的计算 ]考点的理解。
