已知点A，B是抛物线y2=2px上的两个动点，O是坐标原点，向量OA，OB满足|OA+OB|=|OA-OB

题文

已知点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁x₂≠0）是抛物线y²=2px（p＞0）上的两个动点，O是坐标原点，向量OA，OB满足|OA+OB|=|OA-OB|，设圆C的方程为x²+y²-（x₁+x₂）x-（y₁+y₂）y=0．
（1）证明线段AB是圆C的直径；
（2）当圆C的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为255时，求p的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵向量OA，OB满足|OA+OB|=|OA-OB|，
∴(OA+OB) 2=(OA-OB) 2
即OA2+2OA•OB+OB2=OA2-2OA•OB+OB2
整理得OA•OB=0
∵点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴OA=（x₁，y₁），OB=（x₂，y₂）
∴x₁x₂+y₁y₂=0①
设点M（x，y）是以线段AB为直径的圆上的任意一点，
则MA•MB=0
即（x-x₁）（x-x₂）+（y-y₁）（y-y₂）=0
展开上式并将 ①代入得x²+y²-（x₁+x₂）x-（y₁+y₂）y=0
故线段AB是圆C的直径．
（Ⅱ）设圆C的圆心为C（x，y），
则x=x1+x22，y=y1+y22
∵y₁²=2px₁，y₂²=2px₂（p＞0），
∴x₁x₂=y12y224p2
又∵x₁x₂+y₁y₂=0
∴x₁x₂=-y₁y₂
∴-y₁y₂=y12y224p2
∴y₁y₂=-4p²
∴x=x1+x22=14p（y₁²+y₂²）
=14p（y₁²+y₂²+2y₁y₂）-y1y22p
=1p（y²+2p²）
∴圆心的轨迹方程为：y²=px-2p²
设圆心C到直线x-2y=0的距离为d，，则
d=|x-2y|5
=|1p(y2+2p2)-2y|5
=|(y-p)2+p2|5p
当y=p时，d有最小值p5，
由题设得p5=255
∴p=2

解析

OA

考点

据考高分专家说，试题“已知点A（x1，y1），B（x2，y2）.....”主要考查你对 [向量模的计算 ]考点的理解。