已知向量m=(1，1)，向量n与向量m夹角为34π，且m•n=-1．若向量n与向量q=的夹角为π2，向量p=(cosA，2cos2C2)，其中A

题文

已知向量m=(1，1)，向量n与向量m夹角为34π，且m•n=-1．
（1）若向量n与向量q=（1，0）的夹角为π2，向量p=(cosA，2cos2C2)，其中A，C为△ABC的内角，且A，B，C依次成等差数列，试求|n+p|的取值范围．
（2）若A、B、C为△ABC的内角，且A，B，C依次成等差数列，A≤B≤C，设f（A）=sin2A-2（sinA+cosA）+a²，f（A）的最大值为5-22，关于x的方程sin(ax+π3)=m2(a＞0)在[0，π2]上有相异实根，求m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令n=（x，y），则有cos34π=m•n|m|•|n|=-22
由m•n=-1得|m|•|n|=2，又向量m=(1，1)，故其模为2，
则向量n人模为1．则有x²+y²=1
（1）向量n与向量q=（1，0）的夹角为π2，故有n•q=0，即x=0，故y=±1
又m•n=-1故y=-1，则n=（0，-1），
 向量p=(cosA，2cos2C2)，即p=(cosA，1+cosC)
又A，C为△ABC的内角，且A，B，C依次成等差数列 故B=π3
|n+p|²=cos²A+cos²C=cos²A+cos²（2π3-A）=1+12cos（2A+π3）
由A∈（0，2π3），得2A+π3∈（π3，5π3）得cos（2A+π3）∈[-1，12）
|n+p|²∈[12，54）故|n+p|∈[22，52）
（2∵A、B、C为△ABC的内角，且A，B，C依次成等差数列，A≤B≤C，∴B=π3
∴f（A）=sin2A-2（sinA+cosA）+a²=2sinAcosA-2（sinA+cosA）+a² 
令t=sinA+cosA=2sin（A+π4），则2sinAcosA=t²-1
由于A∈（0，π3]，A+π4∈（π4，7π12]，故t=2sin（A+π4）∈（1，2]
故有f（A）=t²-1-2t+a²=t²-2t+a²-1，t∈（1，2]
当t=2时取到最大值为1-22+a²
又f（A）的最大值为5-22，故1-22+a²=5-22
故a²=4，又a＞0，故a=2
又关于的方程sin(ax+π3)=m2(a＞0)在[0，π2]上有相异实根
即方程sin(2x+π3)=m2在[0，π2]上有相异实根
因为x∈[0，π2]，故y=sin(2x+π3)在（0，π12）上是增函数，在（π12，π2）上是减函数
方程sin(2x+π3)=m2在[0，π2]上有相异实根
故m2∈[32，1），
故m∈[3，2）．

解析

n

考点

据考高分专家说，试题“已知向量m=(1，1)，向量n与向量m夹.....”主要考查你对 [向量模的计算 ]考点的理解。