设向量an=(cosnπ6，sinnπ6)，向量b的模为k，则y=|a1+b|2+|a2+b|2+…+|a10+b|2的最大值与最小值的差等于___

题文

设向量a_n=(cosnπ6，sinnπ6)，向量b的模为k（k为常数），则y=|a₁+b|²+|a₂+b|²+…+|a₁₀+b|²的最大值与最小值的差等于______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

因为an=（cosnπ6，sinnπ6），
所以an2= cos2nπ6+sin2nπ6=1．
y=|a₁+b|²+|a₂+b|²+…+|a₁₀+b|²
=a12+a22+…+a102+10 b 2+2b•（a1+a2…+a10）
=10+10k²+2b•（a1+a2…+a10）
因为an=（cosnπ6，sinnπ6），
所以a1=(32，12)，a2=(12，32)，a3=(0，1)，a4=(-12，32)，a5=(-32，12)，
a6=(-1，0)，a7=(-32，-12)，a2=(-12，-32)，a9=(0，-1)，a10=(12，-32)．
所以a1+a2…+a10=（-1-32，12）
又设b=k(cosθ，sinθ)，（k≥0，θ∈R）
所以y=10+10k²+2b•（a1+a2…+a10）
=10+10k²+2k（cosθ，sinθ）•（-1-32，12）
=10+10k²+2k2+3cos（θ-α）
所以y的最大值为10+10k²+2k2+3，最小值为10+10k²-2k2+3，
所以最大值与最小值的差等于4k2+3=2（6+2）k．
故答案为2（6+2）k．

解析

an

考点

据考高分专家说，试题“设向量an=(cosnπ6，sinnπ6.....”主要考查你对 [向量模的计算 ]考点的理解。