如图，在底面为直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PD⊥面ABCD．AD=1，，BC=4．求证：BD⊥PC；（2

题文

如图，在底面为直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PD⊥面ABCD．
AD=1，

 ，BC=4．
（1）求证：BD⊥PC；
（2）求直线AB与平面PDC所成角；
（3）设点E在棱PC上，

 ，若DE∥面PAB，求λ的值．

答案

解：（1）∵∠DAB=90°，AD=1，AB=

 ，
∴BD=2，∠ABD=30°，
∵BC∥AD
∴∠DBC=60°，BC=4，
由余弦定理得DC=2

 ，
BC²=DB²+DC²，∴BD⊥DC，
∵PD⊥面ABCD，∴BD⊥PD，PD∩CD=D，∴BD⊥面PDC，
∵PC在面PDC内，∴BD⊥PC
（2）在底面ABCD内过D作直线DF∥AB，交BC于F，分别以DA、DF、DP为x、y、z轴建立如图空间坐标系，
由（1）知BD⊥面PDC，∴

 就是面PDC的法向量，
A（1，0，0），B（1，

，0），P（0，0，a）

=（0，

，0），

=（1，

，0），
设AB与面PDC所成角大小为θ，sinθ=

=

，
∵θ∈（0，

）∴θ=


（3）在（2）中的空间坐标系中A（1，0，0），B（1，

，0），P（0，0，a），
C（﹣3，

，0），

=（﹣3，

，﹣a），

=（﹣3λ，

λ，﹣aλ），


=

+

=（0，0，a）+（﹣3λ，

λ，﹣aλ）=（﹣3λ，

λ，a﹣aλ）


=（0，

，0），

=（1，0，﹣a），
设

=（x，y，z）为面PAB的法向量，
由



=0，得y=0，
由



=0，得x﹣az=0，取x=a，z=1，

=（a，0，1），
由DE∥面PAB得：

⊥

，
∴



=0，﹣3aλ+a﹣aλ=0，∴λ=

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考点