已知双曲线的离心率为2，过点P的直线l与双曲线E交于不同的两点M，N．当求直线l的方程；设，求实数t的取值范围．

题文

答案

解：（I）∵双曲线

的离心率为2，
∴a²=m，b²=12，c²=m+12，


，∴m=4，双曲线E的方程为

，
当直线l与x轴垂直时，直线l与双曲线没有交点，
设直线l的方程为：y=kx﹣2，点M（x₁，kx₁﹣2），N（x₂，kx₂﹣2），
当

时，x₁=2x₂，

，
∴

，①
y=kx﹣2代入

，得：（3﹣k²）x²+4kx﹣16=0，
3﹣k²≠0，且△=16k²﹣4（3﹣k²）（﹣16）＞0，
即﹣2＜k＜2，且k

，
∴

，
代入①得9×

=2（

）²，解得k=

，满足△＞0，
所以直线l的方程为

．
（II）

=


=

=（k²+1）x₁x₂﹣2k（x₁+x₂）+4=


=12+

，
∵0≤k²＜4，且k²≠3，
∴

，或

，
∴t＞52，或t≤﹣20

解析

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考点