沿着正四面体OABC的三条棱OA、OB、OC的方向有大小等于1、2、3的三个力f1、f2、f3．试求此三个力的合力f的大小以及此合力与三条棱所夹角的余弦．

题文

沿着正四面体OABC的三条棱OA、OB、OC的方向有大小等于1、2、3的三个力f₁、f₂、f₃．试求此三个力的合力f的大小以及此合力与三条棱所夹角的余弦．

题型：未知 难度：其他题型

答案

用a、b、c分别代表棱OA、OB、OC上的三个单位向量，则f₁=a，f₂=2b，f₃=3c，则f=f₁+f₂+f₃=a+2b+3c，
∴|f|²=（a+2b+3c）?（a+2b+3c）
=|a|²+4|b|²+9|c|²+4a?b+6a?c+12b?c
=1+4+9+4|a||b|cos＜a，b＞+6|a||c|cos＜a，c＞+12|b||c|cos＜b，c＞
=14+4cos60°+6cos60°+12cos60°
=14+2+3+6=25．
∴|f|=5，即所求合力的大小为5，
且cos＜f，a＞=f?a|f||a|=|a|2+2a?b+3a?c5=1+1+325=710．
同理，可得cos＜f，b＞=45，cos＜f，c＞=910．

解析

a

考点

据考高分专家说，试题“沿着正四面体OABC的三条棱OA、OB、.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。