已知圆心角为120°的扇形AOB的半径为1，C为弧AB的中点，点D、E分别在半径OA、OB上．若CD2+CE2+DE2=269，则OD+OE的最大值是_____

题文

已知圆心角为120°的扇形AOB的半径为1，C为弧AB的中点，点D、E分别在半径OA、OB上．若CD²+CE²+DE²=269，则OD+OE的最大值是______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

设OD=a，OE=b，由余弦定理，得

CD²=CO²+DO²-2CO•DOcos60°=a²-a+1．
同理可得CE²=b²-b+1，DE²=a²+ab+b²
从而得到CD²+CE²+DE²=2（a²+b²）-（a+b）+ab+2=269
∴2（a²+b²）-（a+b）+ab-89=0，
配方得2（a+b）²-（a+b）-3ab-89=0，即3ab=2（a+b）²-（a+b）-89…（*）
又∵ab≤[12（a+b）]²=14（a+b）²，
∴3ab≤34（a+b）²，代入（*）式，得2（a+b）²-（a+b）-89≤34（a+b）²，
设a+b=m，代入上式有2m²-m-89≤34m²，
即54m²-m-89≤0，得到-815≤m≤43，
∴m最大值为43，即OD+OE的最大值是43．

解析

269

考点

据考高分专家说，试题“已知圆心角为120°的扇形AOB的半径为.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。