题文
（本小题满分14分）已知向量
, 向量
, 且
, 动点
的轨迹为E.
（1）求轨迹E的方程;
（2）证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B, 且
(O为坐标原点),并求出该圆的方程; 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）轨迹E的方程为：
。
（2）存在圆心在原点的圆
，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A, B,
且
.
解析
解:（1）因为,
,
,
所以
, 所以，轨迹E的方程为：
. …………… 4分
(2).设圆心在原点的圆的一条切线为
,解方程组
得
,即
, …………………… 6分
要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B,
则使△=
,
即
,即
, 且
,
要使
, 需使
,即
,
所以
, 即
且
, 即
即
，恒成立. …………………… 10分
又因为直线
为圆心在原点的圆的一条切线,
所以圆的半径为
,
, 所求的圆为
.
当切线的斜率不存在时,切线为
,与
交于点
或
也满足
.
综上, 存在圆心在原点的圆
，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A, B,
且
.
考点
据考高分专家说，试题“ （本小题满分14分）已知向量, 向量,.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。
