题文
（本小题满分12分）已知平面向量a=
，b=
（1）证明a
b；
（2）若存在实数k，t，使x=a+
b，y=-ka+tb，且x
y，试求k，t的函数关系式
;
（3）根据（2）的结论，讨论关于t的方程
的解的情况。 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1） 略
（2） k=
（3）
时，直线k=m与曲线
仅有一个交点，则方程有一解；
当
时，直线k=m与曲线
有两个交点，则方程有两解；
当
时，直线k=m与曲线
有三个交点，则方程有三个解。
解析
解（1）
a·b
=0，
a
b。
（2）
x
y，
x·y=0，即〔a+
b〕·(—ka+tb)=0
整理得-ka2+〔t-k
〕a·b+t
b2=0
a·b=0，a2=4，b2=1。
上式化为-4k+ t
=0，
k=
(3)讨论方程
的解得情况，可以看做曲线
与直线k=m的交点个数。
于是
。
令
，解得
，当
变化时，
、
的变化情况如下表：
１
0
－
０
＋
当
时，
有极大值，极大值为
。
当
时，
有极小值，极小值为
。
而
时，得
。 所以
的图像大致如图所示
于是
时，直线k=m与曲线
仅有一个交点，则方程有一解；
当
时，直线k=m与曲线
有两个交点，则方程有两解；
当
时，直线k=m与曲线
有三个交点，则方程有三个解。
考点
据考高分专家说，试题“（本小题满分12分）已知平面向量a=，b.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。
