．如图，已知A，B，等腰梯形ABCD满足|AB|=-2|CD|，E为AC上一点，且。又以A、B为焦点的双曲线过C、D、E三点。若，则双曲线

题文

．如图，已知A（-2，0），B（2，0），等腰梯形ABCD满足|AB|=-2|CD|，E为AC上一点，且

。又以A、B为焦点的双曲线过C、D、E三点。若

，则双曲线离心率e的取值范围为（   ）



A．

   B．

  C．

   D．

题型：未知 难度：其他题型

答案

A

解析

分析：如图，在直角坐标系中，记双曲线的半焦距为c（c=2），h是梯形的高，用定比分点坐标公式可求得E点坐标x₀和y₀的表达式．设双曲线方程，将点C、E坐标和e分别代入双曲线方程联立后求得e和h的关系式，根据λ的范围求得e的范围．



解：如图，以AB的垂直平分线为γ轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOγ，则CD⊥γ轴．
因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于γ轴对称，
设c为双曲线的半焦距（c=2），
依题意，记 A(-c，0)，C(

，h)，E(x₀，y₀)，
h是梯形的高，
由定比分点坐标公式得 x₀=

=

，γ₀=

．
设双曲线的方程为

-

=1，则离心率 e=

，
由点C、E在双曲线上，将点C、E坐标和 e=

代入双曲线的方程，得

-

=1，①


(

)²-(

)²

=1．②
由①式得

=-1，③
将③式代入②式，整理得

(4-4λ)=1+2λ，
故 λ=1-


由题设

≤λ≤

得，

≤1-

≤

，
解得

≤e≤

，
所以，双曲线的离心率的取值范围为[

，

]．
故选A．

考点

据考高分专家说，试题“．如图，已知A（-2，0），B（2，0）.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。