题文
（本小题满分12分）设定义在区间
上的函数
的图象为
，
是
上的任意一点，
为坐标原点，设向量
=
，
，
，当实数λ满足x="λ" x1+(1－λ) x2时，记向量
=λ
+(1－λ)
．定义“函数
在区间
上可在标准
下线性近似”是指 “
恒成立”，其中
是一个确定的正数．
（1）求证：
三点共线;
（2）设函数
在区间[0，1]上可在标准
下线性近似，求
的取值范围；
（3）求证：函数
在区间
上可在标准
下线性近似.
（参考数据：
=2.718，
） 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）由=λ
+(1－λ)
得到
=λ
，所以B，N，A三点共线。
（2）k的取值范围是
．（3）见解析。
解析
（1）由
=λ
+(1－λ)
得到
=λ
，所以B，N，A三点共线。 ………… 2分
（2）由x="λ" x1+(1－λ) x2与向量
=λ
+(1－λ)
，得N与M的横坐标相同．…4分
对于 [0，1]上的函数y=x2，A(0，0)，B(1，1)， 则
，故
；
所以k的取值范围是
． …………………………………………… 6分
（3）对于
上的函数
，A(
)，B(
)，
则直线AB的方程
， ………………………………………………8分
令
，其中
，于是
， …10分
列表如下：
x
em
(em，em+1－em)
em+1－em
(em+1－em，em+1)
em+1
+
0
－
0
增
减
0
则
，且在
处取得最大值，
又
0.123
，从而命题成立． …………………………………12分
点评：本题是在新定义下考查向量共线知识以及利用导数求闭区间上函数的最值，是对知识的综合考查，属于难题．理解定义是关键．
考点
据考高分专家说，试题“（本小题满分12分）设定义在区间上的函数.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。
