题文
已知点
，
，动点
的轨迹曲线
满足
，
，过点
的直线交曲线
于
、
两点.
(1)求
的值，并写出曲线
的方程；
(2)求△
面积的最大值. 题型：未知 难度：其他题型
答案
(1)
(2)△
面积的最大值为3，此时直线
的方程为
.
解析
解：(1)设
，在△
中，
，
，根据余弦定理得
. （2分）
即
.
.
而
，所以
.
所以
. （4分）
又
，
因此点
的轨迹是以
、
为焦点的椭圆（点
在
轴上也符合题意），
，
.
所以曲线
的方程为
. （6分）
(2)设直线
的方程为
.
由
，消去x并整理得
. ①
显然方程①的
,设
,
,则
由韦达定理得
，
. （9分）
所以
.
令
，则
，
.
由于函数
在
上是增函数.
所以
，当
，即
时取等号.
所以
，即
的最大值为3.
所以△
面积的最大值为3，此时直线
的方程为
. （12分）
点评：解决的关键是根据椭圆的定义求解轨迹方程，同时结合直线与椭圆方程来联立方程组来求解最值，属于基础题。
考点
据考高分专家说，试题“已知点，，动点的轨迹曲线满足，，过点的直.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。
