题文
已知圆
的圆心
与点
关于直线
对称，圆
与直线
相切.
（1）设
为圆
上的一个动点，若点
，
，求
的最小值；
（2）过点
作两条相异直线分别与圆
相交于
，且直线
和直线
的倾斜角互补，
为坐标原点，试判断直线
和
是否平行？请说明理由. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）-4；（2）直线和
一定平行.
解析
本题主要考查圆的标准方程和几何性质、直线的方程、向量的点乘、平面内两点间距离公式、点到直线的距离等基础知识.考查数形结合的数学思想.考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力.第一问，利用两个点关于直线对称，列出方程组，解出
，即得到圆心坐标，再利用点到直线的距离求半径，写出圆的方程，利用向量的点乘列出式子，数形结合找出最小值；第二问，利用直线与圆的位置关系列出方程，得出
两点的横坐标，利用斜率公式写出式子，判断两个斜率是否相等.
试题解析：（Ⅰ）设圆心
，则
中点坐标为
， 1分
∵圆心
与点
关于直线
对称，
∴
，解得
， 3分
∴圆心
到直线
的距离
， 4分
∴求圆
的方程为
． 5分
设
，则
，
∴
， 6分
作直线
：
，向下平移此直线，当与圆
相切时
取得最小值，这时切点坐标为
，
所以
·
的最小值为－4． 8分
（Ⅱ）由题意知，直线
和直线
的斜率存在，且互为相反数，故可设
：
，
：
，由
，得
．
因为点
的横坐标
一定是该方程的解，故可得
，同理，
，
则
．
所以，直线
和
一定平行． 14分
考点
据考高分专家说，试题“已知圆的圆心与点关于直线对称，圆与直线相.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。
