题文
已知函数
，曲线
上是否存在两点
，使得△
是以
为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边的中点在
轴上.如果存在，求出实数
的范围；如果不存在，说明理由. 题型：未知 难度：其他题型
答案
存在，且实数的取值范围是
.
解析
先将斜边
的中点在
轴上这一条件进行转化，确定点
与点
之间的关系，并将
是以点
为直角顶点条件转化为
，进行得到一个方程，然后就这个方程在定义域上是否有解对自变量的取值进行分类讨论，进而求出参数
的取值范围.
试题解析：假设曲线
上存在两点
、
满足题意，则
、
两点只能在
轴两侧，
因为
是以
为直角顶点的直角三角形，所以
，
不妨设
，则由
的斜边的中点在
轴上知
，且
，
由
，所以
（*）
是否存在两点
、
满足题意等价于方程（*）是否有解问题，
（1）当
时，即
、
都在
上，则
，
代入方程（*），得
，即
，而此方程无实数解；
（2）当
时，即
在
上，
在
上，
则
，代入方程（*）得，
，即
，
设
，则
，
再设
，则
，所以
在
上恒成立，
在
上单调递增，
，从而
，故
在
上也单调递增，
所以
，即
，解得
，
即当
时，方程
有解，即方程（*）有解，
所以曲线
上总存在两点
、
，使得
是以
为直角顶点的直角三角形，
且此三角形斜边的中点在
轴上，此时
.
考点
据考高分专家说，试题“已知函数，曲线上是否存在两点，使得△是以.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。
