已知向量a＝，b＝，且x∈.(1)求a·b及|a＋b|；(2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值为－，求正实数λ的值．

题文

已知向量a＝

，b＝

，且x∈

.
(1)求a·b及|a＋b|；
(2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值为－

，求正实数λ的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）|a＋b|＝2cosx（2）λ＝

解析

(1)a·b＝cos

x·cos

－sin

x·sin

＝cos 2x.
∵a＋b＝

，
∴|a＋b|²＝

²＋

²
＝2＋2

＝2＋2cos 2x＝4cos²x.
∵x∈

，∴cos x≥0.因此|a＋b|＝2cos x.
(2)由(1)知f(x)＝cos 2x－4λcos x＝2cos²x－4λcos x－1，
∴f(x)＝2(cos x－λ)²－1－2λ²，cos x∈[0,1]．
①当0＜λ≤1时，当cos x＝λ时，
f(x)有最小值－1－2λ²＝－

，解得λ＝

.
②当λ＞1时，当cos x＝1时，f(x)有最小值1－4λ＝－

，
λ＝

 (舍去)，综上可得λ＝

考点

据考高分专家说，试题“已知向量a＝，b＝，且x∈.(1)求a·.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。