若向量a=(1，2)，b=(-2，1)，k，t为正实数．且x=a+(t2+1)b，y=-1ka+1tb，若x⊥y，求k的最大值；是否存在k，t，使x

题文

若向量a=(1，2)，b=(-2，1)，k，t为正实数．且x=a+(t2+1) b，y=-1ka +1tb，
（1）若x⊥y，求k的最大值；
（2）是否存在k，t，使x∥y？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

由已知可得x=（1，2）+（t²+1）（-2，1）=（-2t²-1，t²+3），
y=-1k（1，2）+1t（-2，1）
=（-1k-2t，-2k+1t）
（1）若x⊥y，则x•y=0，即（-2t²-1）（-1k-2t）+（t²+3）（-2k+1t）=0，
整理得，k=tt2+1=1t+1t≤12t•1t=12，（4分）
当且仅当t=1t，即t=1时取等号，
∴k_max=12．（7分）
（2）假设存在正实数k，t，使x∥y，
则（-2t²-1）（-2k+1t）-（t²+3）（-1k-2t）=0．
化简得t2+1k+1t=0，即t³+t+k=0．（11分）
又∵k，t是正实数，故满足上式的k，t不存在，
∴不存在k，t，使x∥y．（14分）

解析

x

考点

据考高分专家说，试题“若向量a=(1，2)，b=(-2，1)，.....”主要考查你对 [用数量积判断两个向量的垂直关系 ]考点的理解。