设连续掷两次骰子得到的点数分别为m、n，令平面向量a=(m，n)，b=(1，-3)．求使得事件“a⊥b”发生的概率；求使得事件“|a|≤|b|”发生

题文

设连续掷两次骰子得到的点数分别为m、n，令平面向量a=(m，n)，b=(1，-3)．
（Ⅰ）求使得事件“a⊥b”发生的概率；
（Ⅱ）求使得事件“|a|≤|b|”发生的概率；
（Ⅲ）使得事件“直线y=mnx与圆（x-3）²+y²=1相交”发生的概率． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）由题意知，m∈{1，2，3，4，5，6}；n∈{1，2，3，4，5，6}，
故（m，n）所有可能的取法共6×6=36种（2分）
使得a⊥b，即m-3n=0，
即m=3n，共有2种（3，1）、（6，2），
所以求使得a⊥b的概率P=236=118（4分）
（Ⅱ）|a|≤|b|即m²+n²≤10，
共有（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（3，1）6种
使得|a|≤|b|的概率P=636=16（8分）
（Ⅲ）由直线与圆的位置关系得，d=|3m|m2+n2＜1，
即mn＜24，
共有13，14，15，16，26，5种，
所以直线y=mnx与圆（x-3）²+y²=1相交的概率P=536（12分）

解析

a

考点

据考高分专家说，试题“设连续掷两次骰子得到的点数分别为m、n，.....”主要考查你对 [用数量积判断两个向量的垂直关系 ]考点的理解。