设平面上向量a=(cos2α，sin2α)，(0≤α＜π)，b=(12，32)，a与b不共线．证明向量a+b与a-b垂直；若两个向量3a+b与a-3

题文

设平面上向量a=(cos2α，sin2α)，(0≤α＜π)，b=(12，32)，a与b不共线．
（Ⅰ）证明向量a+b与a-b垂直；
（Ⅱ）若两个向量3a+b与a-3b的模相等，试求角α． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵|a|=cos22α+sin22α=1，
|b|=(12)2+(32)2=1
∴(a+b)•(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=0
∴(a+b)⊥(a-b)；（5分）
（Ⅱ）由题意：(3•a+b)2=(a-3b)2
得：a•b=0∴12cos2α+32sin2α=0
得sin(2α+π6)=0∴2α+π6=kπ，k∈Z（10分）
又0≤α＜π，所以α=5π12或11π12．（12分）

解析

a

考点

据考高分专家说，试题“设平面上向量a=(cos2α，sin2α.....”主要考查你对 [用数量积判断两个向量的垂直关系 ]考点的理解。