已知向量OA=(λcosα，λsinα)，OB=(-sinβ，cosβ)，OC=(1，0)，其中O为坐标原点．若λ=2，α=π3，β∈

题文

已知向量OA=(λcosα，λsinα)（λ≠0），OB=(-sinβ，cosβ)，OC=(1，0)，其中O为坐标原点．
（1）若λ=2，α=π3，β∈（0，π），且OA⊥BC，求β；
（7）若|AB|≥2|OB|对任意实数α，β都成立，求实数λ的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）若λ=2，α=π3，则OA=(1，3)，BC=(1+sinβ，-cosβ)，
由OA⊥BC，得：1+sinβ-3cosβ=0，即1+2sin(β-π3)=0，
所以sin(β-π3)=-12，因为-π3＜β-π3＜2π3，所以β-π3=-π6，所以β=π6．
（2）若|AB|≥2|OB|对任意实数α，β都成立，则（λcosα+sinβ）²+（λsinα-cosβ）²≥4对任意实数α，β都成立，
即λ²+1+2λsin（β-α）≥4对任意实数α，β都成立，
所以，λ＞0λ2+1-2λ≥4或λ＜0λ2+1+2λ≥4，解得：λ≥3或λ≤-3，
所以实数λ的取值范围是（-∞，-3]∪[3，+∞）．

解析

π3

考点

据考高分专家说，试题“已知向量OA=(λcosα，λsinα).....”主要考查你对 [用数量积判断两个向量的垂直关系 ]考点的理解。