已知两个不共线的向量a，b，它们的夹角为θ，且|a|=3，|b|=1，x为正实数．若a+2b与a-4b垂直，求tanθ；若θ=π6，求|xa-b|的

题文

已知两个不共线的向量a，b，它们的夹角为θ，且|a|=3，|b|=1，x为正实数．
（1）若a+2b与a-4b垂直，求tanθ；
（2）若θ=π6，求|xa-b|的最小值及对应的x的值，并判断此时向量a与xa-b是否垂直？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a+2b与a-4b垂直，∴(a+2b)•(a-4b)=0，
∴a2-2a•b-8b2=0，
∴3²-2×3×1×cosθ-8×1²=0，∴cosθ=16．
又θ∈（0，π），
∴sinθ=1-cos2θ=356，
∴tanθ=sinθcosθ=35．
（2）|xa-b|=(xa-b)2=x2a2-2xa•b+b2=9(x-36)2+14，
故当x=36时，|xa-b|取得最小值为12，
此时a•(xa-b)=xa2-a•b=36×9-3×1×cosπ6=0，
故向量a与xa-b垂直．

解析

a

考点

据考高分专家说，试题“已知两个不共线的向量a，b，它们的夹角为.....”主要考查你对 [用数量积判断两个向量的垂直关系 ]考点的理解。