已知：向量a=(4cosα，sinα)，b=(sinβ，4cosβ)，c=(cosβ，-4sinβ)若tanαtanβ=16，求证：a∥b；若a与b

题文

已知：向量a=(4cosα，  sinα)，  b=(sinβ，  4cosβ)，  c=(cosβ，  -4sinβ)
（1）若tanαtanβ=16，求证：a∥b；
（2）若a与b-2c垂直，求tan（α+β）的值；
（3）求|b+c|的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵tanαtanβ=16，∴sinαsinβ=16cosαcosβ，
∵a=(4cosα，  sinα)，  b=(sinβ，  4cosβ)，
∴4cosα•4cosβ=sinα•sinβ，
∴a∥b；
（2）∵a与b-2c垂直，∴a•(b-2c)=a•b-2a•c=0，
即4cosαsinβ+4sinαcosβ-2（4cosαcosβ-4sinαsinβ）=0，
∴4sin（α+β）-8cos（α+β）=0，
∴tan（α+β）=2；
（3）b+c=（sinβ+cosβ，4cosβ-4sinβ），
∴|b+c|2=（sinβ+cosβ）²+（4cosβ-4sinβ）²
=17-30sinβcosβ=17-15sin2β
∴当sin2β=-1时，|b+c|取最大值17+15=42

解析

a

考点

据考高分专家说，试题“已知：向量a=(4cosα，sinα)，.....”主要考查你对 [用数量积判断两个向量的垂直关系 ]考点的理解。