已知椭圆C以F1，F2为焦点，且离心率e=22求椭圆C的方程过M(0，2)点斜率为k的直线l1与椭圆C有两个不同交点P、Q，求

题文

已知椭圆C以F₁（-1，0），F₂（1，0）为焦点，且离心率e=22
（Ⅰ）求椭圆C的方程
（Ⅱ）过M(0 ， 2)点斜率为k的直线l₁与椭圆C有两个不同交点P、Q，求k的范围
（Ⅲ）设椭圆C与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在直线l₁，满足（Ⅱ）中的条件且使得向量OP+OQ与AB垂直？如果存在，写出l₁的方程；如果不存在，请说明理由 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设椭圆C的半长轴长、半短轴长、半焦距长分别为a、b、c
由题设知：c=1
由e=ca=1a=12，得a=2，
则b=1
∴椭圆C的方程为x22+y2=1
（Ⅱ）过M(0 ， 2)点斜率为k的直线l1：y-2=kx
即l1：y=kx+2
与椭圆C方程联立消y得（2k²+1）x²+42x+2=0（*）
由l₁与椭圆C有两个不同交点知
其△=32k²-8（2k²+1）＞0得k＜-22或k＞22
∴k的范围是(-∞，-22)∪(22，+∞)．
（Ⅲ）设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），则x₁、x₂是（*）的二根
则x1+x2=-42k2k2+1，则y₁+y₂=k（x₁+x₂）+22=222k2+1
则OP+OQ=(x1+x2，y1+y2)=(-42k2k2+1 ， 222k2+1)
由题设知A(2 ， 0) 、B(0 ， 1)，∴AB=(-2 ， 1)
若(OP+OQ)⊥AB，须(OP+OQ)•AB=8k2k2+1+222k2+1=0
得k=-24∉(-∞，-22)∪(22，+∞)
∴不存在满足题设条件的l₁．

解析

ca

考点

据考高分专家说，试题“已知椭圆C以F1（-1，0），F2（1，.....”主要考查你对 [用数量积判断两个向量的垂直关系 ]考点的理解。