已知a∈R，函数m=x2，n=aln．令f=

题文

已知a∈R，函数m（x）=x²，n（x）=aln（x+2）．
（Ⅰ）令f（x）= 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由题意，不妨设A（t，aln（t+2）），B（-t，t²）（t＞0）
∴OA⊥OB，
∴-t²+at²ln（t+2）=0，
∴a=1ln(t+2)，
∵ln（t+2）∈（ln2，+∞），
∴a的取值集合为（0，1ln2）；
（Ⅱ）g（x）=m（x）+n（x）=x²+aln（x+2），
∴g′（x）=2x2+4x+ax+2，
∵函数g（x）=m（x）+n（x）存在两个极值点x₁、x₂，
∴g′（x）=0，即2x²+4x+a=0在（-2，+∞）上存在两个不等的实根，
令p（x）=2x²+4x+a，
∴△=16-8a＞0且p（-2）＞0，
∴0＜a＜2，
∵x₁+x₂=-2，x₁x₂=a2，
∴g（x₁）+g（x₂）=x₁²+aln（x₁+2）+x₂²+aln（x₂+2）
=（x₁+x₂）²-2x₁x₂+aln[x₁x₂+2（x₁+x₂）+4]
=alna2-a+4
令q（x）=xlnx2-x+4，x∈（0，2），
∴q′（x）=lnx2＜0，
∴q（x）在（0，2）上单调递减，
∴2＜alna2-a+4＜4
∴g（x₁）+g（x₂）的取值范围是（2，4）．

解析

1ln(t+2)

考点

据考高分专家说，试题“已知a∈R，函数m（x）=x2，n（x）.....”主要考查你对 [用数量积判断两个向量的垂直关系 ]考点的理解。