已知点A，B和抛物线C：y2=4x，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另一点Q，如图证明

题文

已知点A（-1，0），B（1，-1）和抛物线C：y²=4x，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另一点Q，如图
（1）证明：

为定值；
（2）若△POM的面积为

，求向量

与

的夹角；
（3）证明直线PQ恒过一个定点.

题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）设点


∵P、M、A三点共线，
∴ k_AM=k_PM，
即


即

，
∴y₁y₂=4，





即

为定值．
（2）解：设∠POM=α，则

·cosα=5.
∵

，

·sinα=5．
由此可得tanα=1，又α∈（0，π），
∴α=45°，
故向量

与

的夹角为45°．
（3）证明：设点

，
∵M、B、Q三点共线，
∴k_BQ= k_OM ，
即

，
即


∴（y₃+1）（y₁+y₃）=


即y₁y₃+y₁+y₃+4=0.
由（1）知y₁y₂=4，即


∴


即4（y₂+y₃）+y₂y₃+4=0.（*）
 ∵


∴直线PQ的方程是


（y-y₂）（y₂+y₃）=


即y（y₂+y₃）-y₂y₃=4x
由（*）式，得-y₂y₃=4（y₂+y₃）+4，代入上式，得（y+4）（y₂+y₃）=4（x-1）．
由此可知直线PQ过定点（1，-4）。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知点A（-1，0），B（1，-1.....”主要考查你对 [用数量积表示两个向量的夹角 ]考点的理解。