如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，D是棱C C1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB

题文

如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=1，D是棱C C₁上的一点，P是AD的延长线与A₁C₁的延长线的交点，且PB₁∥平面BDA₁
（Ⅰ）求证：CD=C₁D；
（Ⅱ）求二面角A﹣A₁D﹣B的平面角的余弦值；
（Ⅲ）求点C到平面B₁DP的距离．

题型：未知 难度：其他题型

答案

解：由题意作出如下图形并建立图示的空间直角坐标系：
以A₁点为原点，A₁B₁，A₁C₁，A₁A所在的直线分别为x，y，z轴，
建立图示的空间直角坐标系，则A₁（0，0，0）B₁（1，0，0）C₁（0，1，0）B（1，0，1）（I）设C₁D=x，∵AC∥PC₁



可设D（0，1，x）

，
∴

=（0，1，x），


设平面BA₁D的一个法向量为

=（a，b，c），
则





  
令a=1，则

=（1，x，﹣1）
∵PB₁∥平面BA₁D
∴

0=0

x=

；
故CD=C₁D．
（II）由（I）知，平面BA₁D的一个法向量为


又

=（1，0，0）为平面AA₁D的一个法向量，
∴cos＜

．
故二面角A﹣A₁D﹣B的平面角的余弦值为

．
（III）∵


设平面B₁DP的一个法向量为

=（x，y，z），
则






令z=1，∴


又


∴C到平面B₁PD的距离d=

．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。