已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，左焦点为F，左准线与x轴的交点为M，OM=4OF．求椭圆的离心率e；过左焦点F且斜率为2的直线与椭圆交于A

题文

已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，左焦点为F，左准线与x轴的交点为M，OM=4OF．
（1）求椭圆的离心率e；
（2）过左焦点F且斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点，若OA•OB=-2，求椭圆的方程． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设椭圆方程为x2a2+y2b2=1，F(-c，0)，M(-a2c，0)．
由OM=4OF，有(-a2c，0)=4(-c，0)．（3分）
则有a2c=4c，即c2a2=14，∴e=ca=12．（6分）
（2）设直线AB的方程为y=2(x+c)，直线AB与椭圆的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由（I）可得a²=4c²，b²=3c²．
由3x2+4y2=12c2y=2(x+c). 消去y，得11x²+16cx-4c²=0．（9分）
故 x1+x2=-16c11，x1x2=-411c2． 
∵AB•OB=(x1，y1)•(x2，y2)=x1x2+y1y2，
且y₁•y₂=2（x₁+c）（x₂+c）=2x₁x₂+2c（x₁+x₂）+2c²．
∴3x₁x₂+2c（x₁+x₂）+2c²=-2．（11分）
即-1211c2-3211c2+2c2=-2，∴c²=1．则a²=4，b²=2．
椭圆的方程为x24+y22=1．（13分）

解析

x2a2

考点

据考高分专家说，试题“已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。