椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率为22，椭圆右准线与x轴交于E．求椭圆的标准方程；若M，直线x+2y-10=0上有

题文

椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率为22，椭圆右准线与x轴交于E（2，0）．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若M（2，t）（t＞0），直线x+2y-10=0上有且仅有一点P使PO•PM=0．求以OM为直径的圆的方程；
（Ⅲ）设椭圆左、右焦点分别为F₁，F₂，过E点作不与y轴垂直的直线l与椭圆交于A，B两个不同的点（B在E，A之间）若有F1A=λF2B，求此时直线l的方程． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（i）设a为半长轴，b为半短轴，c为焦距的一半，
根据题意可知：a2c=2即a²=2c①，ca=22即a²=2c²②，
把②代入①解得：c=1，
把c=1代入②解得a=2，
所以b=1，
又椭圆的中心在原点，则所求椭圆的方程为x22+y2=1（4分）
（II）即以OM为直径的圆和直线x+2y-10=0相切．可求得圆心为(1，t2)，半径为1+t24，
所以|1+t-10|5=1+t24，解得t=4（负舍）则以OM为直径的圆的方程为（x-1）²+（y-2）²=5（9分）
（III）由题：F1A∥F2B，则有相似比可求得EA=3EB
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）∴（x₁-2，y₁）=3（x₂-2，y₂），∴解得x1=3x2-4y1=3y2
又A，B在椭圆上，带入椭圆方程，有(3x2-4)22+(3y2)2=1x222+y22=1解得x2=43y2=±13
∴求得直线方程为y=12x-1或y=-12x+1（15分）

解析

a2c

考点

据考高分专家说，试题“椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率为2.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。