已知A，B，C均在椭圆M：x2a2+y2=1(a＞1)上，直线AB、AC分别过椭圆的左右焦点F1、F2，当AC•F1F2=0时，有9AF1•AF2=AF12．（

题文

已知A，B，C均在椭圆M：x2a2+y2=1(a＞1)上，直线AB、AC分别过椭圆的左右焦点F₁、F₂，当AC•F1F2=0时，有9AF1•AF2=AF12．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设是椭圆M上的任一点，EF为圆N：x²+（y-2）²=1的任一条直径，求PE•PF的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）因为AC•F1F2=0，所以有AC⊥F1F2
所以△AF₁F₂为直角三角形；
∴|AF1|cos∠F1AF2=|AF2|
则有9AF1•AF2=9|AF1||AF2|cos∠F1AF2=9|AF2|2=AF12=|AF1|2
所以，|AF1|=3|AF2|
又|AF1|+|AF2|=2a，
∴|AF1|=3a2，|AF2|=a2
在△AF₁F₂中有|AF1|2=|AF2|2+|F1F 2|2
即(3a2)2=(a2)2+4(a2-1)，解得a²=2
所求椭圆M方程为x22+y2=1
（Ⅱ）由题意可知N（0，2），E，F关于点N对称，
设E（x₀，y₀），则F（-x₀，4-y₀）有x02+(y0-2)2=1，
∴PE•PF=x²-x₀²+4y₀-4y-y₀²+y²=x²+2y²-（x₀²+（y₀-2）²）-y²+4-4y=-（y+2）²+9
P是椭圆M上的任一点，y∈[-1，1]，
所以当y=-1时，PE•PF的最大值为8．

解析

AC

考点

据考高分专家说，试题“已知A，B，C均在椭圆M：x2a2+y2.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。