在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点为A，B平面内两点G、M同时满足①GA+GB+GC=0，②|MA|=|MB|=|MC|，③GM∥AB（

题文

在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点为A（0，-1），B（0，1）平面内两点G、M同时满足①GA+GB+GC=0，②|MA|=|MB|=|MC|，③GM∥AB
（1）求顶点C的轨迹E的方程
（2）设P、Q、R、N都在曲线E上，定点F的坐标为（2，0），已知PF∥FQ，RF∥FN且PF•RF=0．求四边形PRQN面积S的最大值和最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设C（x，y），
∵GA+GB=2GO，
由①知GC=2GO，
∴G为△ABC的重心，
∴G（x3，y3）
由②知M是△ABC的外心，
∴M在x轴上．
由③知M（x3，0），
由|MC|=|MA|得
(x3)2+1=(x-x3)2+y2
化简整理得：x23+y2=1（x≠0）
（2）F（2，0）恰为x23+y2=1的右焦点
设PQ的斜率为k≠0且k≠±22，
则直线PQ的方程为y=k（x-2）
由y=k(x-2)x2+3y2-3=0⇒(3k2+1)x2-62k2x+6k2-3=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
则x₁+x₂=62k23k2+1，x₁•x₂=6k2-33k2+1；
则|PQ|=1+k2•(x1+x2)2-4x1x2
=1+k2•(62k23k2+1)2-4•6k2-33k2+1
=23(k2+1)3k2+1
∵RN⊥PQ，把k换成-1k
得|RN|=23(k2+1)3+k2
∴S=12|PQ|•|RN|
=6(k2+1)2(3k2+1)(k2+3)=2-83(k2+1k2)+10）
∴3(k2+1k2)+10=82-S∵k2+1k2≥2，
∴82-S≥16，
∴32≤S＜2，（当k=±1时取等号）
又当k不存在或k=0时S=2
综上可得32≤S≤2，
∴S_max=2，S_min=32

解析

GA

考点

据考高分专家说，试题“在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点为A.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。