过抛物线E：x2=2py的焦点F作斜率率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1+k2=2．l1与E交于点A，B，l2与E交于C，D，以AB，

题文

过抛物线E：x²=2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k₁，k₂的两条不同直线l₁，l₂，且k₁+k₂=2．l₁与E交于点A，B，l₂与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l．
（I）若k₁＞0，k₂＞0，证明：FM•FN＜2p2；
（II）若点M到直线l的距离的最小值为755，求抛物线E的方程． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I） 由题意，抛物线E的焦点为F(0，p2)，直线l₁的方程为y=k1x+p2．
由y=k1x+p2x2=2py，得x2-2pk1x-p2=0．
设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则x₁，x₂是上述方程的两个实数根．
从而x₁+x₂=2pk₁，y1+y2=k1(x1+x2)+p=2pk12+p．
所以点M的坐标为(pk1，pk12+p2)，FM=(pk1，pk12)．
同理可得点N的坐标为(pk2，pk22+p2)，FN=(pk2，pk22)．
于是FM•FN=p2(k1k2+k12k22)．
由题设k₁+k₂=2，k₁＞0，k₂＞0，k₁≠k₂，所以0＜k1k2＜(k1+k22)2=1．
故FM•FN＜p2(1+12)=2p2．
（Ⅱ）由抛物线的定义得|FA|=y1+p2，|FB|=y2+p2，
所以|AB|=y1+y2+p=2pk12+2p，从而圆M的半径r1=pk12+p．
故圆M的方程为(x-pk1)2+(y-pk12-p2)2=(pk12+p)2，
化简得x2+y2-2pk1x-p(2k12+1)y-34p2=0．
同理可得圆N的方程为x2+y2-2pk2x-p(2k22+1)y-34p2=0
于是圆M，圆N的公共弦所在的直线l的方程为(k2-k1)x+(k22-k12)y=0．
又k₂-k₁≠0，k₁+k₂=2，则l的方程为x+2y=0．
因为p＞0，所以点M到直线l的距离为
d=|2pk12+pk1+p|5=p|2k12+k1+1|5=p[2(k1+14)2+78]5．
故当k1=-14时，d取最小值7p85．由题设7p85=755，解得p=8．
故所求抛物线E的方程为x²=16y．

解析

p2

考点

据考高分专家说，试题“过抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。