设离心率e=12的椭圆M：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是x轴正半轴上一点，以PF1为直径的圆经过椭圆M短轴端点，且该圆和

题文

设离心率e=12的椭圆M：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，P是x轴正半轴上一点，以PF₁为直径的圆经过椭圆M短轴端点，且该圆和直线x+3y+3=0相切，过点P的直线与椭圆M相交于相异两点A、C．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）若相异两点A、B关于x轴对称，直线BC交x轴与点Q，求QA•QC的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设以|PF₁|为直径的圆经过椭圆M短轴端点N，
∴|NF₁|=a，∵e=12，∴a=2c，
∴∠NF1P=π3，|PF₁|=2a．
∴F₂（c，0）是以|PF₁|为直径的圆的圆心，
∵该圆和直线x+3y+3=0相切，
∴2c=|c+3|1+(3)2，解得c=1，a=2，b=3，
∴椭圆M的方程为：x24+y23=1．
（Ⅱ）设点A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则点B（x₁，-y₁），
设直线PA的方程为y=k（x-3），
联立方程组x24+y23=1y=k(x-3).，消掉y，化简整理得（4k²+3）x²-24k²x+36k²-12=0，
由△=（24k²）²-4•（3+4k²）•（36k²-12）＞0，得0＜k2＜35．
则x1+x2=24k24k2+3，x1x2=36k2-124k2+3．
直线BC的方程为：y+y1=y2+y1x2-x1(x-x1)，
令y=0，则x=y1x2+y2x1y1+y2=2x1x2-3(x1+x2)x1+x2-6=72k2-244k2+3-72k24k2+324k24k2+3-6=43．
∴Q点坐标为(43，0)．
QA•QC=(x1-43)(x2-43)+y1y2=(x1-43)(x2-43)+k2(x1-3)(x2-3)
=(1+k2)x1x2-(3k2+43)(x1+x2)+9k2+169
=(1+k2)•36k2-124k2+3-(3k2+43)•24k24k2+3+9k2+169
=19k2-124k2+3+169=23536-10516k2+12．
∵0＜k2＜35，
∴QA•QC∈(-209，53)．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“设离心率e=12的椭圆M：x2a2+y2.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。