给定椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，称圆心在原点O、半径是a2+b2的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为F(2，0)，其短轴的一个端点到

题文

给定椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，称圆心在原点O、半径是a2+b2的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为F(2，0)，其短轴的一个端点到点F的距离为3．
（1）求椭圆C和其“准圆”的方程；
（2）若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B，D是椭圆C上的两相异点，且BD⊥x轴，求AB•AD的取值范围；
（3）在椭圆C的“准圆”上任取一点P，过点P作直线l₁，l₂，使得l₁，l₂与椭圆C都只有一个交点，试判断l₁，l₂是否垂直？并说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意可得：a=3，c=2，b=1，∴r=(3)2+12=2．
∴椭圆C的方程为x23+y2=1，其“准圆”的方程为x²+y²=4；
（2）由“准圆”的方程为x²+y²=4，令y=0，解得x=±2，取点A（2，0）．
设点B（x₀，y₀），则D（x₀，-y₀）．
∴AB•AD=（x₀-2，y₀）•（x₀-2，-y₀）=(x0-2)2-y02，
∵点B在椭圆x23+y2=1上，∴x023+y02=1，∴y02=1-x023，
∴AD•AB=(x0-2)2-1+x023=43(x0-32)2，



∵-3＜x0＜3，∴0≤43(x0-32)2＜7+43，
∴0≤AD•AB＜7+43，即AD•AB的取值范围为[0，7+43)
（3）①当过准圆上点P的直线l与椭圆相切且其中一条直线的斜率为0而另一条斜率不存在时，则点P为(±3，±1)，此时l₁⊥l₂；
②当过准圆上的点P的直线l的斜率存在不为0且与椭圆相切时，设点P（x₀，y₀），直线l的方程为m（y-y₀）=x-x₀．
联立m(y-y0)=x-x0x23+y2=1消去x得到关于y的一元二次方程：
(3+m2)y2+(2mx0-2m2y0)y+m2y02+x02-2mx0y0-3=0，
∴△=(2mx0-2m2y0)2-4(3+m2)(m2y02+x02-2mx0y0-3)=0，
化为(y02-1)m2-2mx0y0+x02-3=0，
∵y02-1≠0，m存在，∴m₁m₂=x02-3y02-1．
∵点P在准圆上，∴x02+y02=4，∴x02-3=1-y02，
∴m₁m₂═-1．
即直线l₁，l₂的斜率kl1•kl2=-1，因此当过准圆上的点P的直线l的斜率存在不为0且与椭圆相切时，直线l₁⊥l₂．
综上可知：在椭圆C的“准圆”上任取一点P，过点P作直线l₁，l₂，使得l₁，l₂与椭圆C都只有一个交点，l₁⊥l₂．

解析

3

考点

据考高分专家说，试题“给定椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。