已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点P．求双曲线C的方程；若点M在双曲线上，求证：MF1•M

题文

已知双曲线的中心在原点，焦点F₁，F₂在坐标轴上，离心率为2，且过点P（4，-10）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：MF1•MF2=0；
（3）求△F₁MF₂的面积． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵e=2，∴可设双曲线方程为x²-y²=λ．
∵过点（4，-10），∴16-10=λ，即λ=6．
∴双曲线方程为x²-y²=6；
（2）证明：∵MF1=（-3-23，-m），MF2=（23-3，-m），
∴MF1•MF2=（-3-23）×（23-3）+m²=-3+m²，
∵M点在双曲线上，∴9-m²=6，即m²-3=0，
∴MF1•MF2=0．
（3）△F₁MF₂中|F₁F₂|=43，由（2）知m=±3．
∴△F₁MF₂的F₁F₂边上的高h=|m|=3，∴S_△F1MF2=6．

解析

2

考点

据考高分专家说，试题“已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。