已知抛物线y=x2上的两点A、B满足AP=λPB，λ＞0，其中点P坐标为，OM=OA+OB，O为坐标原点．求四边形OAMB的面积的最小值；

题文

已知抛物线y=x²上的两点A、B满足AP=λPB，λ＞0，其中点P坐标为（0，1），OM=OA+OB，O为坐标原点．
（1）求四边形OAMB的面积的最小值；
（2）求点M的轨迹方程． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由AP=λPB知A、P、B三点在同一条直线上，
设该直线方程为y=kx+1，
A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²）．
由y=kx+1y=x2，得x²-kx-1=0，
∴x₁+x₂=k，x₁x₂=-1，
∴OA•OB=x₁x₂+x₁²x₂²=-1+（-1）²=0，
∴OA⊥OB．
又OAMB是平行四边形，
∴四边形OAMB是矩形，
∴S=|OA|•|OB|
=x21+x41•x22+x42
=-x₁x₂(1+x21)(1+x22)
=1+x21+x22+(x1x2)2
=2+(x1+x2)2-2x1x2=4+k2．
∴当k=0时，S取得最小值是2．
（Ⅱ）设M（x，y），
∴x=x1+x2y=x21+x22，
消去x₁和x₂，
得x²=y-2，
∴点M的轨迹是y=x²+2．

解析

AP

考点

据考高分专家说，试题“已知抛物线y=x2上的两点A、B满足AP.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。