已知O为原点，向量OA=，OB=，OC=，x∈(0，π2)．求证：⊥OC；

题文

已知O为原点，向量OA=（3cosx，3sinx），OB=（3cosx，sinx），OC=（2，0），x∈(0，π2)．
（1）求证：（OA-OB）⊥OC；
（2）求tan∠AOB的最大值及相应x值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵0＜x＜π2，∴3sinx＞sinx，∴OA-OB≠0
又OA-OB=(0，2sinx)
∴（OA-OB）•OC=0×2+2sinx×0=0
∴（OA-OB）⊥OC．
（2）tan∠AOC=3sinx3cosx=tanx，tan∠BOC=sinx3cosx=13tanx
∵OA-OB=BA，∴BA⊥OC，0＜∠AOB＜π2．
∴tan∠AOB=tan（∠AOC-∠BOC）
=tan∠AOC-tan∠BOC1+tan∠AOCtan∠BOC=tanx-13tanx1+ 13tan2x
=2tanx3+tan2x≤2tanx23tanx=33
（当tanx=3即x=π3时取“=”）
所以tan∠AOB的最大值为33，相应的x=π3

解析

π2

考点

据考高分专家说，试题“已知O为原点，向量OA=（3cosx，3.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。