如图所示，已知椭圆C：x2+y2a2=1的离心率为e，点F为其下焦点，点A为其上顶点，过F的直线l：y=mx-c（其中c=a2-1与椭圆C相交于P，Q

题文

如图所示，已知椭圆C：x2+y2a2=1（a＞1）的离心率为e，点F为其下焦点，点A为其上顶点，过F的直线l：y=mx-c（其中c=a2-1与椭圆C相交于P，Q两点，且满足AP•AQ=a2(a+c)2-12-c2．
（1）试用a表示m²；
（2）求e的最大值；
（3）若e∈（13，12），求m的取值范围．

题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）直线方程与椭圆方程联立，可得（a²+m²）x²-2mcx-1=0



设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=2mca2+m2，x₁x₂=-1a2+m2
∴y₁+y₂=m（x₁+x₂）-2c=-2a2ca2+m2，y₁y₂=a2(c2-m2)a2+m2
∵A（0，a），∴AP=（x₁，y₁-a），AQ=（x₂，y₂-a）
∴AP•AQ=x₁x₂+（y₁-a）（y₂-a）=a2(a+c)2-12-c2
∴a²+m²=2-c²=2-（a²-1）
∴m²=3-2a²；
（2）由（1）知，m²=3-2a²≥0
∴3（a²-c²）-2a²≥0
∴a²≥3c²
∴e2≤13
∴e的最大值为33；
（3）∵e∈（13，12），
∴e2∈(19，14)
∴19＜a2-1a2＜14
∴98＜a2＜43
∴13＜m2＜34
∴m的取值范围为(-32，-33)∪(33，32)．

解析

2mca2+m2

考点

据考高分专家说，试题“如图所示，已知椭圆C：x2+y2a2=1.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。