已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，且椭圆C经过点M(2，2)．求椭圆C的标准方程；过圆O：x2+y2=83上的任意一点作圆

题文

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，且椭圆C经过点M(2，2)．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过圆O：x2+y2=83上的任意一点作圆的一条切线l与椭圆C交于A、B两点．求证：OA•OB为定值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）
∵长轴长是短轴长的2倍，
∴椭圆方程为x22b2+y2b2=1
∵M(2，2)在椭圆C上
∴42b2+2b2=1
∴b²=4
∴椭圆C的方程为x28+y24=1；
（2）证明：当切线l的斜率不存在时切线方程为x=±263
与椭圆的两个交点为（263，±263）或（-263，±263）
此时OA•OB=0；
当切线l斜率存在时，可设l的方程为y=kx+m，与椭圆方程联立，可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0
则△=8k²-m²+4＞0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-4km1+2k2，x1x2=2m2-81+2k2
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=m2-8k21+2k2
∵l与圆x2+y2=83相切
∴d=|m|1+k2=83
∴3m²=8k²+8
∴OA•OB=x1x2+y1y2=3m2-8k2-81+2k2=0
综上所述OA•OB=0为定值．

解析

x2a2

考点

据考高分专家说，试题“已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。