已知中心为O的正方形ABCD的边长为2，点M、N分别为线段BC、CD上的两个不同点，且|MN|≤1，则OM•ON的取值范围是______．

题文

已知中心为O的正方形ABCD的边长为2，点M、N分别为线段BC、CD上的两个不同点，且|MN|≤1，则OM•ON的取值范围是______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

由题意可得MN2=(ON-OM)2=OM2+ON2-2OM•ON≤1，
∴OM•ON≥OM2+ON2- 12．
设CM=x，CN=y，则 MN²=x²+y²≤1．
OM2+ON2=1+（1-x）²+1+（1-y）²=（1-x）²+（1-y）²+2，
表示单位圆面（x²+y²≤1 ）上的点与点（1，1）连线的距离的平方加上2，
故其最小值为(2-1)2+2=5-22，最大值为(2+1)2+2=5+22．
故OM•ON 的最小值等于OM2+ON2- 12=5-22-12=2-2．
又当OM和 ON的模最大且夹角最小时，OM•ON 最大，
故当M、N和点C重合时，OM•ON最大等于2•2=2，
再由点M、N分别为线段BC、CD上的两个不同点，可得OM•ON的最大小于2．
故OM•ON 的范围为[2-2，2）．
故答案为[2-2，2）．

解析

MN

考点

据考高分专家说，试题“已知中心为O的正方形ABCD的边长为2，.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。