已知△ABC中∠BAC=60°，AC=1，AB=2，设点P、Q满足AP=λAB，AQ=(1-λ)AC，λ∈R，若BQ•CP=-54，则λ=______．

题文

已知△ABC中∠BAC=60°，AC=1，AB=2，设点P、Q满足AP=λAB，AQ=(1-λ)AC，λ∈R，若BQ•CP=-54，则λ=______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

在△ABC中∠BAC=60°，
故∠B=180°-（60°+∠C）=120°-∠C，
由正弦定理可得1sinB=2sinC，即sinC=2sinB，
故sinC=2sin（120°-C）=2（32cosC+12sinC）
=3cosC+sinC，解得cosC=0，故C=90°
∴AB•AC=2×1×12=1，
而BQ•CP=（AQ-AB）•（AP-AC）
=[(1-λ)AC-AB]•[λAB-AC]
=（λ-1）AC2-λAB2+[（1-λ）λ+1]AB•AC
=（λ-1）-4λ+λ-λ²+1=-54，
整理可得4λ²+8λ-5=0，即（2λ+5）（2λ-1）=0，
解得λ=12或-52，
故答案为：12或-52

解析

1sinB

考点

据考高分专家说，试题“已知△ABC中∠BAC=60°，AC=1.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。