已知椭圆E：x2a2+y2b2=1的右焦点为F，离心率为12，A，B，且△ABF的面积为332，设斜率为k的直线过

题文

已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），离心率为12，A（-a，0），B（0，b），且△ABF的面积为332，设斜率为k的直线过点F，且与椭圆E相交于M、N两点．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若 2713≤AM•AN≤277，求k的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵离心率为12，∴a=2c，b=3c．  
∵△ABF的面积为332，
∴12(2c+c)×3c=332，∴c=1
∴a=2，∴b=3
∴椭圆E的方程为x24+y23=1；
（Ⅱ）斜率为k的直线过点F，设方程为y=k（x-1）与x24+y23=1联立，消元可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=8k23+4k2，x1x2=4k2-12 3+4k2
∴y₁y₂=k²（x₁-1）（x₂-1）=-9k23+4k2
∴AM•AN=(x1+2，y1)•( x2+2，y2)=x₁x₂+2（x₁+x₂）+4+y₁y₂=27k23+4k2
∵2713≤AM•AN≤277，∴2713≤27k23+4k2≤277
∴13≤k2≤1
∴33≤k≤1或-1≤k≤-33
∴k的取值范围是[33，1]∪[-1，-33]．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。