过抛物线x2=4y上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点，PA•PB=0．求点P的轨迹方程；已知点F，是否存在实数λ使得FA•FB+

题文

过抛物线x²=4y上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点，PA•PB=0．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）已知点F（0，1），是否存在实数λ使得FA•FB+λ(FP)2=0？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解法（一）：（1）设A（x₁，x124），
由x²=4y，得：y′=x2，∴k_PA=x12，kPB=x22∵PA•PB=0，
∴PA⊥PB，∴x₁x₂=-4．（4分）
直线PA的方程是：y-x214=x12(x-x1）即y=x1x2-x214①
同理，直线PB的方程是：y=x2x2-x224②，（6分）
由①②得：x=x1+x22y=x1x24=-1(x1，x2∈R)
∴点P的轨迹方程是y=-1（x∈R）．（8分）
（2）由（1）得：FA=(x1，x214-1），FB=(x2，x224-1），P（x1+x22，-1）FP=(x1+x22，-2)，x1x2=-4，
FA•FB=x1x2+(x214-1)(x224-1)=-2-x21+x224（FP)2+2，
所以FA•FB+(FP)2=0
故存在λ=1使得FA•FB+λ(FP)2=0．（14分）
解法（二）：（1）∵直线PA、PB与抛物线相切，且PA•PB=0，
∴直线PA、PB的斜率均存在且不为0，且PA⊥PB，
设PA的直线方程是y=kx+m（k，m∈R，k≠0）
由y=kx+mx2=4y得：x²-4kx-4m=0．（4分）
∴△=16k²+16m=0即m=-k²
即直线PA的方程是：y=kx-k²
同理可得直线PB的方程是：y=-1kx-1k2，（6分）
由y=kx-k2y=-1kx-1k2得：x=k-1k∈Ry=-1
故点P的轨迹方程是y=-1（x∈R）．（8分）
（2）由（1）得：A（2k，k²），B（-2k，1k2-1），
∴FA=(2k，k2-1)，FB=(-2k，1k2-1），FP=(k-1k，-2）FA•FB=-4+(k2-1)(1k2-1)=-2-(k2+1k2）．
故存在λ=1使得FA•FB+λ(FP)2=0．（14分）

解析

x124

考点

据考高分专家说，试题“过抛物线x2=4y上不同两点A、B分别作.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。